The Elements kali pertama diterbitkan pada tahun 1482 di Eropa ( ). Dampak positif dari kehadiran the Elements sangat luar biasa, antara lain penggunaan metode aksiomatik-deduktif Euclid yang digunakan dalam buku Isaac Newton dengan judul Principia  dan buku Immanul Kant yang berjudul Critique of Pure Reason. Presiden AS, Abraham Lincoln menguasai enam buku pertama the Elements dengan tujuan untuk meningkatkan keterampilan penalaranny, sedangkan Albert Einstein menggambarkan the Elements sebagai keajaiban kedua dalam hidupnya. Setelah dua puluh tiga abad ditulisnya the Elements, kalangan pelajar di seluruh dunia masih belajar geometri Euclid berdasarkan buku tersebut (Prabowo, 2009).

Euclid’s Elements merupakan kumpulan risalah yang terdiri atas tiga belas jilid buku. Risalah tersebut merupakan kumpulan dari definisi, postulat (aksioma), dalil (teorema dan konstruksi), dan pembuktian matematika dari dalil-dalil yang tercantum di dalamnya. The Elements jilid pertama terdiri atas 23 definisi, 48 proposisi, dan 10 aksioma (Burton, 2011). Di dalam jilid tersebut, Euclid membagi sepuluh aksioma menjadi lima postulat dan lima common-notions. Lima buah common-notions tersebut adalah (Kalimuthu, 2009):

1.      Segala sesuatau yanga sama/sejenis dengan sesuatu lainnya, maka masing-masing satu sama lain juga akan sama/sejenis.

Hal ini berarti jika  dan , maka .

2.      Jika segala sesuatu yang sama/sejenis ditambahkan kepada segala sesuatu yang sama pula, maka hasi keseluruhannya akan sama/sejenis.

Hal ini berarti jika , maka .

3.      Jika segala sesuatu yang sama/sejenis dikurangkan dengan sesuatu yang sama/sejenis, maka sisanya sama/sejenis.

Hal ini berarti jika , maka .

4.      Segala sesuatu yang saling menyatu, maka masing-maing satu sama lain juga akan sama/sejenis.

Hal ini berarti .

5.      Keseluruhan lebih besar daripada kumpulan bagiannya.

Selanjutnya, keempat postulat pertama Euclid bersifat trivial (bermakna tunggal)dan secara intuitif kebenarannya bersifat self-evident dan sesuai dengan akal sehat (common sense) (Prabowo, 2009). Berikut ini adalah keempat postulat Euclid tersebut (Sivasubramanian, 2009):

1.      Melalui dua titik sebarang dapat dibuat garis lurus.

2.      Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis lurus.

3.      Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis lingkaran.

4.      Semua sudut siku-siku besarnya sama.

Sementara itu, postulat kelima sangatlah berbeda dengan keempat postulat lainnya. Karena postulat kelima Euclid mampu mengundang perdebatan atau kontroversi dikalangan matematikawan pada masa itu. Postulat kelima Euclid yang popular disebut sebagai postulat kesejajaran yang bunyinya sebagai berikut:

“If straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely meet on that side on which are the angles less than the two right angles”  (Sivasubramanian, 2009).  Yang artinya jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus (lainnya) dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku (kurang dari 180°), kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari sudut siku (dan tidak bertemu di sisi lainnya).

Meskipun menimbulkan kegelisahan, keberadaan the fifth Euclid’s Postulate (323 SM – 283 SM) telah dikenal di seluruh dunia. Secara logis dan konsisten, postulat kelima ini tetap bersama dengan keempat postulat lainnya untuk membentuk sistem aksiomatis yang konsisten (Smarandache, 2000). Euclid tidak pernah menyebut postulat kelimanya tersebut dengan postulat kesejajaran. Apabila dicermati, dalam postulat kelima tersebut sama sekali tidak mengandung istilah kesejajaran. Tetapi, Euclid sendiri memberikan suatu definisi mengenai garis sejajar (parallel lines) sebagai berikut:

“Parallel lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one an other in either direction" (Rolwing & Levine, 2014). Ini artinya, dua buah garis yang terletak pada bidang yang sama, jika diperpanjang terus (sampai tak hingga) pada kedua arahnya, maka kedua garis tersebut tidak akan bertemu.

Dengan adanya definisi ini, mendukung argumentasi bahwa Euclid tidak pernah menyebut postulat kelimanya sebagai postulat kesejajaran. Pada dasarnya, postulat kelima memperoleh nama postulat kesejajaran karena postulat tersebut dapat disajikan dalam kalimat yang berbeda tetapi memiliki makna yang sama secara tersirat, sebagai berikut (Prabowo, 2009): melalui titik A yang terletak diluar garis k, terdapat paling banyak (tepat) sat ugaris yang melalui titik A dan sejajar dengan garis k. Postulat kesejajaran inilah yang dipopulerkan oleh John Playfair (1748-1819), yang awal mulanya telah diungkapkan oleh Proclus (410-485). Postulat Playfair inilah yang hingga saat ini masih diberikan dalam materi pembelajaran matematika di sekolah.

Fakta sejarah menyatakan bahwa postulat kelima Euclid ini memicu perdebatan, diskursus atau kontroversi dikalangan matematikawan. Dan bahkan perdebatan tersebut sebenarnya telah ada tidak lama setelah masa Euclid. Berdasarkan redaksi penulisannya, terlihat dengan jelas bahwa postulat kelimma tersebut sangat berbeda dengan keempat postulat lainnya, terutama karena kalimatnya yang sangat panjang sehingga sulit untuk dimengerti dan mudag menimbulkan pemahaman yang keliru atau berbeda di antara kalangan matematikawan (Prabowo, 2009).

Sebagian matematikawan berpendapat bahwa Euclid telah keliru menempatkannya sebagai postulat. Mereka beranggapan bahwa postulat kelima Euclid tersebut sebenarnya merupakan suatu teorema yang harus dibuktikan kebenarannya. Dengan kata lain, postulat kelima tersebut tidak independen, tetapi dapat dibuktikan, diturunkan atau bergantung pada empat postulat yang pertama. Penyusunan postulat kelima dengan cara yang demikian, di lain pihak menunjukkan bahwa Euclid adalah seorang jenius dalam matematika. Euclid pun tidak memberikan bukti terhadap postulat kelima tersebut, sebab bagi Euclid sendiri, karena pernyataan tersebut adalah postulat, maka benar dengan sendirinya sehingga tidak perlu bukti apapun. Para ahli yang berpendapat bahwa postulat kelima Euclid merupakan suatu teorema, tidak ada satu pun yang berhasil memberikan buktinya, sehingga tampaklah keunggulan dan kejeniusan Euclid dibanding ahli-ahli matematika sejamannya atau bahkan sesudahnya.

Usaha untuk membuktikan postulat kelima dimulai segera sesudah Euclid merumuskan sistem geometrinya. Hal tersebut dilakukan dengan merumuskan postulat kelima Euclid dalam proposisi yang baru dan menganggapnya sebagai suatu teorema (teorema kesejajaran) untuk kemudian dibuktikan kebenarannya, atau dengan menegasikannya dan menunjukkan negasinya salah. Beberapa diantaranya adalah Poseidonius (135–51 SM), Claudius Ptolemy (85–165), Proclus (410–485), Ibnu al-Haytam atau Alhazen (965-1039), Omar Khayyam (1048-1131), Nasir Eddin (al-Din) at-Tusi (1201–1274) dan anaknya Sad’r al-Dinat-Tusi, John Wallis (1616–1703), Girolamo Saccheri (1667-1733), John Playfair (1748–1819), Johann Heinrich Lambert (1728–1777), dan Adrien Marie Legendre (1752–1833), Wolfgang Farkas Bolyai (1775–1856) dan Carl Friederich Johann Gauss (1777-1855) (Prabowo, 2009).

Namun, usaha tersebut tidak ada yang membuahkan hasil, sehingga nampaklah keunggulan geometri Euclid. Namun diluar kesadaran mereka semua, usaha tersebut di kemudian hari justru memunculkan sistem geometri lainnya yang sekarang dikenal dengan geometri non-Euclid (geometri hiperbolik dan geometri eliptik). Geometri non-Euclid juga masih mendasarkan pada keempat postulat pertama Euclid, hanya berbeda pada postulat kelima mengenai kesejajaran.