Upaya Peningkatan Aktivitas Kemampuan Berpikir Geometri Peserta Didik Dalam Belajar Matematika

A.    Aktivitas Pembelajaran Matematika Untuk Meningkatkan Kemampuan Geometri

1.      Aktivitas belajar

Menurut [1] megemukakan bahwa di dalam belajar diperlukan adanya aktivitas, tanpa aktivitas belajar maka tidak mungkin akan adanya keberlangsungan dengan baik. Aktivitas dalam proses belajar mengajar adalah suatu rangkaian kegiatan yang terdiri dari keaktifan peserta didik dalam mengikuti proses pembelajaran, adanya Tanya jawab terhadap materi yang belum difahami, mencatat, mendengar, berfikir, membaca, menghitung, dan lain sebagainya untuk menunjang prestasi belajar peserta didik.

Menurut [2] Syaiful (2005) aktivitas belajar peserta didik mencakup sebagai berikut:

a.    Peserta didik belajar secara individual untuk menerapkan konsep, prinsip dan generalisasi

b.    Peserta didik belajar dalam bentuk kelompok untuk memcahkan masalah.

c.     Setiap peserta didik berpartisipasi dalam melaksanakan tugas belajarnya melalui berbagai cara.

d.    Peserta didik berani untuk mengajukan pendapat.

e.     Ada aktivitas belajar analisis, sintesis, penilaian, dan kesimpulan.

f.      Antar peserta didik terjalin hubungan social dalam melaksanakan kegiatan belajar.

g.    Setiap peserta didik bias mengomentari dan memberikan tanggapan terhadap pendapat peserta didik yang lain.

h.    Setiap peserta didik diberi kesempatan menggunakan berbagai sumber belajar yang tersedia.

i.      Setiap peserta didik berupaya menilai hasil belajar yang dicapainya.

j.      Ada upaya dari peserta didik untuk bertanya kepada guru dan meminta pendapat gutu dalam upaya kegiatan belajarnya.

Berdasarkan uraian yang telah dipaparkan diatas, bias diambil kesimpulan bahwa aktivitas belajar merupakan sebuah rangkaian kegiatan yang dimana peserta didik mengikuti pembelajaran sehingga mengakibatkan perubahan perilaku belajar pada diri peserta didik, seperti dari yang tidak faham menjadi faham.

2.      Jenis-jenis Aktivitas Dalam Belajar

Menurut [1] yang mengurip dari Paul.B Diedrich, beliau membuat suatu daftar yang berisi 177 macam kegiatan peserta didik yang dapat digolongkan menjadi 8 bagian, diantaranya:

1.        Visual activities, yang termasuk didalamnya misalnya membaca, memperhatikan gambar demonstrasi, percobaan, pekerjaan orang lain

2.        Oral activities, seperti: menyatakan, merumuskan, bertanya, memberi saran, mengeluarkan pendapat, mengadakan wawancara, diskusi, interupsi.

3.        Listening activities, sebagai contoh mendengarkan : uraian, percakapan, diskusi, music, pidato.

4.        Writing activities, seperti misalnya cerita, karangan, laporan, angket, menyalin.

5.        Drawing activities, misalnya: menggambar, membuat gradik, peta, diagram.

6.        Motor activities, yang termasuk didalamnya antara lain: melakukan percobaan, membuat konstruksi, model mereparasi, bermain, berkebun, beternak.

7.        Mental activities, sebagai contoh misalnya: menanggapi, mengingat, memecahkan soal, menganalisis, melihat hubungan, emngambil keputusan.

8.        Emotional activities, seperti misalnya menaruh minat, merasa bosan, gembira, bersemangat, bergairah, berani, tenang, gugup.

Sehingga dengan mengklarifikasi aktivitas seperti halnya yang tertera diatas, menunjukkan bahwa aktivitas di sekolah cukup kompleks dan bervariasi. Jika berbagai kegiatan tersebut dapat diciptakan atau dilaksanakan disekolah maka sekolah-sekolah akan lebih dinamis. Tidak membosankan dan menjadi pusat aktivitas belajar yang maksimal . tetapi hal tersebut sebenarnya menjadi tantangan tersendiri bagi guru. Kreativitas guru sangatlah diperlukan agar supaya kegiatan peserta didik yang bervariasi dapat terencana dengan baik.

B.     Kemampuan Pemahaman Konsep Matematika

Kemampuan pemahaman konsep matematis merupakan salah satu tujuan terpenting dalam pembelajaran matematika, memberikan pengertian bahwa materi-materi yang diajarkan kepada peserta didik bukan hanya sekedar hapalan melainkan lebih dari itu dengan pamahaman peserta didik akan lebih mudah memahami akan konsep materi pelajaran matematika. Menurut [1] meyatakan bahwa istilah pemahaman berasal dari kata paham, yang menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia diartikan sebagai pengetahuan banyak, pendapat, aliran, mengerti benar. Adapun istilah pemahaman sendiri didefinisikan sebagai proses, cara, perbuatan memahami.

Pemahaman konsep merupakan kemampuan peserta didik yang berupa penguasaan sejumlah materi pelajaran, dimana peserta didik tidak hanya mengetahui atau mengingat sejumlah konsep yang dipelajari, akan tetapi peserta didik pun mampu mengungkapkan kembali dalam bentu atau bahasa lain yang mudah dimengerti. Memberikan interpretasi data dan mampu mengaplikasikan konsep yang sesuai dengan struktur kognitif yang dimilikinya. Menurut [1] hal-hal yang mempengaruhi terjadinya pemahaman adalah sistematis sajian materi, karena materi akan masuk ke otak jika masuknya teratur.

Menurut [2] dalam menyampaikan suatu materi pembelajaran, seorang guru haruslah memperhatikan singkat kemampuan peserta didik tersebut. Guru harus mengetahui tingkat perkembangan mental dari peserta didik tersebut dan bagaimana pengajaran yang seharusnya dilakukan agar sesuai dengan tingkatan perkembangan peserta didik. Pembelajaran yang tidak menggunakan tingkatan perkembangan mental peserta didik akan mengakibatkan terjadinya kesulitan pemahaman dari peserta didik karena tidak sesuainya pembelajaran dengan tingkat kemampuan peserta didik. Untuk dapat menentukan tingkat berfikir dari peserta didik, guru haruslah dapat mendeskripsikan proses berpikir dari peserta didik dalam menyelesaikan permasalahan matematika sehingga nantinya guru akan mengetahui tingkatan berpikir daripada peserta didik tersebut.

C.    Kemampuan Berpikir Geometri Matematika

1.      Pengertian Berpikir Geometri Matematika

Berpikir menurut [3] mengutip dari Suryabrata (2010) adalah proses dinamis yang dapat dilukiskan menurut proses atau jalannya dan Iskandar mengemukakan berfikir sebagai proses pengetahuan yang menghubungkan antara stimulus dan respon dari kegiatan kognitif tingkat tinggi. Sehingga berpikir merupakan kegiatan proses pengetahuan dan kegiatan kognitif tingkat tinggi yang dapat dilihat berdasarkan prosesnya.

Sedangkan menurut [4] berpikir diartikan sebagai proses untuk membentuk representasi mental baru melalui transformasi informasi oleh interaksi kompleks dari atribusi mental yang mencakup pertimbangan, pengabstrakan, penalaran, penggambaran, penyelesaian masalah yang logis, pembentukan konsep, kreativitas dan kecerdasan. Artinya berpikir merupakan aktivitas mental mencakup pertimbangan, pengabstrakan, penalaran, penggambaran dan penyelesaian masalah.

Adapun geometri adalah salah satu canag dari matematika yang memperlajari berbagai bentuk, posisi dan sifat-sifat keruangan. Kebanyakan dari obyek di dunia digambarkan dalam bentuk, sehingga geometri menempati posisi yang penting dalam kurikulum. Oleh karenanya, geometri merupakan pembelajaran yang penting, sehingga perlu adanya pengkajian mengenai berpikir geometris peserta didik. Ungkapan diatas diperkuat oleh Goos, dkk (2007) dalam [3], yang menyatakan bahwa jika berpikir geometris peserta didik dikembangkan maka akan dapat mengembangkan kemampuan imajinasinya, dapat memahami objek yang sebenarnya tanpa melihatnya, dapat melihat objek yang dinamis. Sehingga berpikir geometris mutlak diperlukan dalam setiap cabang matematika dan sudut pandang geometris telah memberikan wawasan yang tepat bagi banyak peneliti sepanjang sejarah.

2.      Tingkat Berpikir Geometri Matematika

Teori mengenai proses perkembangan yang dilalui peserta didik dalam mempelajari geometri adalah teori Van Hiele. Dimana Van Hiele menyatakan bahwa dalam mempelajari geometri peserta didik mengalami perkembangan kemampuan berpikir melalui level-level tertentu. Van Hiele juga mengatakan bahwasannya terdapat lima tingkat berpikir peserta didik dalam bidang geometri, dimana setiap tahapnya menggambarkan proses pemikiran yang diterapkan dalam konteks geometri, yaitu:

1.        Level 0 (visualisasi)

Pada level ini, peserta didik mengenal bentuk-bentuk geometri hanya sekedar karakteristik visual dari suatu objek. Peserta didik memandang objek secara keseluruhan namun tidak terfokus pada sifat-sifat objek yang diamati. Oleh karenanya, pada level ini peserta didik tidak bias memahami dan menentukan sifat geometri dan karakteristik bangun yang ditunjukkan Clements (1992) dalam [4]. Sebagai contoh, pada tingkat ini peserta didik mengetahui bentuk pintu sebagai suatu bangun persegi panjang, tetapi peserta didik tersebut belum menyadari karakteristik bangun persegi tersebut dengan sepenuhnya.

2.        Level 1 (analisis)

Pada level analisis, pada peserta didik sudah terlihat adanya analisis terhadap konsep dan sifat-sifat bangun geometri. Peserta didik dapat menentukan sifat-sifat suatu bangun dengan melakukan pengukuran, pengamatan, menggambar bahkan membuat model. Namun dengan demikian, peserta didik belum sepenuhnya dapat menjelaskan hubungan antara sifat-sifat yang ada pada geometri dan belum memahami berbagai definisi (Clements, 1992) dalam [4]. Contohnya, pada level analisis ini peserta didik sudah bisa mengatakan bahwa suatu bangun dikatakan persegi apabila bangun tersebut memiliki empat sisi yang sama dan semua sudutnya siku-siku.

3.        Level 2 (deduksi informal)

Pada level ini, peserta didik sudah dapat melihat hubungan antara sifat-sifat suatu bangun geometri dan sifat-sifat berbagai bangun dengan menggunakan deduksi informal, dan dapat mengklarifikasi bangun-bangun secara hierarkis (mengurutkan sifat-sifat). Menurut Crowley (1987) dalam [4] peserta didik pada level berpikir deduksi informal sudah dapat melihat hubungan sifat-sifat pada suatu bangun. Contohnya, pada jajar genjang sisi yang berhadapannya sejajar hal tersebut mengakibatkan sudut-sudut yang berhadapannya sama besar. Jadi pada level berpikir ini peserta didik sudah dapat mengungkapkan definisi-definisi yang abstrak dan dapat memberikan argumen-argumen informal serta mengklarifikasi bangun-bangun dengan hierarkis (mengurutkan sifat-sifat).

4.        Level 3 ( deduksi)

Pada level deduksi ini peserta didik tidak hanya sekedar menerima bukti, akan tetapi sudah mampu menyusun bukti. Peserta didik mampu membuat sebuah daftar aksioma dan definisi untuk membuat teorema. Peserta didik pun membuktikan teorema tersebut dengan menggunakan pemikiran yang logis. Usiskin (1982) dalam [4] mengemukakan bahwa pada level ini peserta didik sudah memahami peranan definisi. Aksioma dan teorema pada geometri.

5.        Level 4 (rigor)

Pada level ini peserta didik bernalar secara formal dalam system matematika dan dapat menganalisis konsekuensi dari manipulasi aksioma dan definisi. Saling berkaitan antara bentuk yang tidak didefinisikan, aksioma, teorema dan pembuktian formal dapat dipahami. Clements (1992) dalam [4] mengemukakan bahwa rigor dengan level matematika bernalar secara formal dalam system matematika serta dapat menganalisis konsekuensi dari manipulasi aksioma dan definisi. Pada level rigor ini, peserta didik memerlukan tahap berpikir yang kompleks dan rumit, oleh karenanya level ini jarang dicapai oleh para peserta didik di sekolah.

Berkaitan dengan yang dikemukakan diatas, maka pembelajaran geometri seharusnya disesuaikan dengan level berpikir peserta didik [5], sehingga pentingnya melihat level berpikir peserta didik agar supaya pembelajaran geometri dapat berjalan sesuai dengan harapan.

Oleh karenanya, guru-guru harus memiliki kemampuan kretifitas terhadap pengajaran agar terciptanya proses belajar mengajar yang aktif dan menyenangkan sehingga dapat diterima baik oleh para peserta didik. Sehingga jika sudah terjalin proses belajar mengajar dengan aktif dan menyenangkan sampai diterima oleh peserta didik, maka peserta didik pun dapat dengan mudah memahami segala konsep matematika bahkan cara berpikir mereka pun akan berubah sesuai dengan yang diharapkan yaitu berpikir geometri. 

The Elements kali pertama diterbitkan pada tahun 1482 di Eropa ( ). Dampak positif dari kehadiran the Elements sangat luar biasa, antara lain penggunaan metode aksiomatik-deduktif Euclid yang digunakan dalam buku Isaac Newton dengan judul Principia  dan buku Immanul Kant yang berjudul Critique of Pure Reason. Presiden AS, Abraham Lincoln menguasai enam buku pertama the Elements dengan tujuan untuk meningkatkan keterampilan penalaranny, sedangkan Albert Einstein menggambarkan the Elements sebagai keajaiban kedua dalam hidupnya. Setelah dua puluh tiga abad ditulisnya the Elements, kalangan pelajar di seluruh dunia masih belajar geometri Euclid berdasarkan buku tersebut (Prabowo, 2009).

Euclid’s Elements merupakan kumpulan risalah yang terdiri atas tiga belas jilid buku. Risalah tersebut merupakan kumpulan dari definisi, postulat (aksioma), dalil (teorema dan konstruksi), dan pembuktian matematika dari dalil-dalil yang tercantum di dalamnya. The Elements jilid pertama terdiri atas 23 definisi, 48 proposisi, dan 10 aksioma (Burton, 2011). Di dalam jilid tersebut, Euclid membagi sepuluh aksioma menjadi lima postulat dan lima common-notions. Lima buah common-notions tersebut adalah (Kalimuthu, 2009):

1.      Segala sesuatau yanga sama/sejenis dengan sesuatu lainnya, maka masing-masing satu sama lain juga akan sama/sejenis.

Hal ini berarti jika  dan , maka .

2.      Jika segala sesuatu yang sama/sejenis ditambahkan kepada segala sesuatu yang sama pula, maka hasi keseluruhannya akan sama/sejenis.

Hal ini berarti jika , maka .

3.      Jika segala sesuatu yang sama/sejenis dikurangkan dengan sesuatu yang sama/sejenis, maka sisanya sama/sejenis.

Hal ini berarti jika , maka .

4.      Segala sesuatu yang saling menyatu, maka masing-maing satu sama lain juga akan sama/sejenis.

Hal ini berarti .

5.      Keseluruhan lebih besar daripada kumpulan bagiannya.

Selanjutnya, keempat postulat pertama Euclid bersifat trivial (bermakna tunggal)dan secara intuitif kebenarannya bersifat self-evident dan sesuai dengan akal sehat (common sense) (Prabowo, 2009). Berikut ini adalah keempat postulat Euclid tersebut (Sivasubramanian, 2009):

1.      Melalui dua titik sebarang dapat dibuat garis lurus.

2.      Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis lurus.

3.      Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis lingkaran.

4.      Semua sudut siku-siku besarnya sama.

Sementara itu, postulat kelima sangatlah berbeda dengan keempat postulat lainnya. Karena postulat kelima Euclid mampu mengundang perdebatan atau kontroversi dikalangan matematikawan pada masa itu. Postulat kelima Euclid yang popular disebut sebagai postulat kesejajaran yang bunyinya sebagai berikut:

“If straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely meet on that side on which are the angles less than the two right angles”  (Sivasubramanian, 2009).  Yang artinya jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus (lainnya) dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku (kurang dari 180°), kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari sudut siku (dan tidak bertemu di sisi lainnya).

Meskipun menimbulkan kegelisahan, keberadaan the fifth Euclid’s Postulate (323 SM – 283 SM) telah dikenal di seluruh dunia. Secara logis dan konsisten, postulat kelima ini tetap bersama dengan keempat postulat lainnya untuk membentuk sistem aksiomatis yang konsisten (Smarandache, 2000). Euclid tidak pernah menyebut postulat kelimanya tersebut dengan postulat kesejajaran. Apabila dicermati, dalam postulat kelima tersebut sama sekali tidak mengandung istilah kesejajaran. Tetapi, Euclid sendiri memberikan suatu definisi mengenai garis sejajar (parallel lines) sebagai berikut:

“Parallel lines are straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one an other in either direction" (Rolwing & Levine, 2014). Ini artinya, dua buah garis yang terletak pada bidang yang sama, jika diperpanjang terus (sampai tak hingga) pada kedua arahnya, maka kedua garis tersebut tidak akan bertemu.

Dengan adanya definisi ini, mendukung argumentasi bahwa Euclid tidak pernah menyebut postulat kelimanya sebagai postulat kesejajaran. Pada dasarnya, postulat kelima memperoleh nama postulat kesejajaran karena postulat tersebut dapat disajikan dalam kalimat yang berbeda tetapi memiliki makna yang sama secara tersirat, sebagai berikut (Prabowo, 2009): melalui titik A yang terletak diluar garis k, terdapat paling banyak (tepat) sat ugaris yang melalui titik A dan sejajar dengan garis k. Postulat kesejajaran inilah yang dipopulerkan oleh John Playfair (1748-1819), yang awal mulanya telah diungkapkan oleh Proclus (410-485). Postulat Playfair inilah yang hingga saat ini masih diberikan dalam materi pembelajaran matematika di sekolah.

Fakta sejarah menyatakan bahwa postulat kelima Euclid ini memicu perdebatan, diskursus atau kontroversi dikalangan matematikawan. Dan bahkan perdebatan tersebut sebenarnya telah ada tidak lama setelah masa Euclid. Berdasarkan redaksi penulisannya, terlihat dengan jelas bahwa postulat kelimma tersebut sangat berbeda dengan keempat postulat lainnya, terutama karena kalimatnya yang sangat panjang sehingga sulit untuk dimengerti dan mudag menimbulkan pemahaman yang keliru atau berbeda di antara kalangan matematikawan (Prabowo, 2009).

Sebagian matematikawan berpendapat bahwa Euclid telah keliru menempatkannya sebagai postulat. Mereka beranggapan bahwa postulat kelima Euclid tersebut sebenarnya merupakan suatu teorema yang harus dibuktikan kebenarannya. Dengan kata lain, postulat kelima tersebut tidak independen, tetapi dapat dibuktikan, diturunkan atau bergantung pada empat postulat yang pertama. Penyusunan postulat kelima dengan cara yang demikian, di lain pihak menunjukkan bahwa Euclid adalah seorang jenius dalam matematika. Euclid pun tidak memberikan bukti terhadap postulat kelima tersebut, sebab bagi Euclid sendiri, karena pernyataan tersebut adalah postulat, maka benar dengan sendirinya sehingga tidak perlu bukti apapun. Para ahli yang berpendapat bahwa postulat kelima Euclid merupakan suatu teorema, tidak ada satu pun yang berhasil memberikan buktinya, sehingga tampaklah keunggulan dan kejeniusan Euclid dibanding ahli-ahli matematika sejamannya atau bahkan sesudahnya.

Usaha untuk membuktikan postulat kelima dimulai segera sesudah Euclid merumuskan sistem geometrinya. Hal tersebut dilakukan dengan merumuskan postulat kelima Euclid dalam proposisi yang baru dan menganggapnya sebagai suatu teorema (teorema kesejajaran) untuk kemudian dibuktikan kebenarannya, atau dengan menegasikannya dan menunjukkan negasinya salah. Beberapa diantaranya adalah Poseidonius (135–51 SM), Claudius Ptolemy (85–165), Proclus (410–485), Ibnu al-Haytam atau Alhazen (965-1039), Omar Khayyam (1048-1131), Nasir Eddin (al-Din) at-Tusi (1201–1274) dan anaknya Sad’r al-Dinat-Tusi, John Wallis (1616–1703), Girolamo Saccheri (1667-1733), John Playfair (1748–1819), Johann Heinrich Lambert (1728–1777), dan Adrien Marie Legendre (1752–1833), Wolfgang Farkas Bolyai (1775–1856) dan Carl Friederich Johann Gauss (1777-1855) (Prabowo, 2009).

Namun, usaha tersebut tidak ada yang membuahkan hasil, sehingga nampaklah keunggulan geometri Euclid. Namun diluar kesadaran mereka semua, usaha tersebut di kemudian hari justru memunculkan sistem geometri lainnya yang sekarang dikenal dengan geometri non-Euclid (geometri hiperbolik dan geometri eliptik). Geometri non-Euclid juga masih mendasarkan pada keempat postulat pertama Euclid, hanya berbeda pada postulat kelima mengenai kesejajaran.